Xor через базовые операции. Битовые операции

Поведение

Элементы Исключающее ИЛИ, Исключающее ИЛИ-НЕ, Нечётность и Чётность вычисляют соответствующую функцию от значений на входах и выдают результат на выход.

По умолчанию, неподключенные входы игнорируются - то есть, если входы действительно не имеют ничего подключенного к ним - даже провода. Таким образом, вы можете добавить 5-входовый элемент, но подключить только два входа, и он будет работать как 2-входовый элемент; это избавляет вас от необходимости беспокоиться о настройке количества входов каждый раз при создании элемента. (Если все входы не подключены, то на выходе значение ошибки X .) Некоторые пользователи, однако, предпочитают, чтобы Logisim настаивал, чтобы все входы были подключены, поскольку это соответствует реальным элементам. Вы можете включить это поведение, выбрав меню Проект > Параметры…, перейдя на вкладку Моделирование, и выбрав вариант Ошибка для неопределённых входов для Выход элемента при неопределённости.

Двухвходовая таблица истинности для элементов следующая.

x	y	Исключающее ИЛИ	Исключающее ИЛИ-НЕ	Нечётность	Чётность
0	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	0	1

Как вы можете видеть, элементы Нечётность и Исключающее ИЛИ ведут себя одинаково в случае двух входов; аналогично, элементы Чётность и Исключающее ИЛИ-НЕ ведут себя одинаково. Но если входов с определённым значением больше двух, то элемент Исключающее ИЛИ будет давать на выходе 1, когда единица строго на одном входе, тогда как элемент Нечётность даст на выходе 1, когда единица на нечётном количестве входов. Элемент Исключающее ИЛИ-НЕ будет давать на выходе 1, когда входов с единицей строго не один, тогда как элемент Чётность даст 1, когда входов с единицей чётное количество. Элементы Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ имеют атрибут, названный Многовходовое поведение, который позволяет настроить их на использование поведения элементов Нечётность и Чётность.

Если на каких-либо входах значение ошибки (например, если противоречивые значения поступают на один и тот же провод) или плавающее значение, то на выходе будет значение ошибки.

Многобитные версии каждого элемента будут выполнять свои однобитные преобразования над входами поразрядно.

Примечание: многие специалисты утверждают, что поведение фигурного элемента Исключающее ИЛИ должно соответствовать поведению элемента Нечётность, но по этому вопросу нет согласия. Поведение Logisim по умолчанию для элемента Исключающее ИЛИ основано на стандарте IEEE 91. Это также согласуется с интуитивным пониманием термина Исключающее ИЛИ : официант, спрашивающий, хотите вы гарнир из картофельного пюре, моркови, зеленого горошка, или шинкованной капусты, примет только один выбор, а не три, независимо от того, что вам могут сказать некоторые специалисты. (Должен признать, однако, что я не подвергал это заявление серьезным испытаниям.) Вы можете настроить элементы Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ на использование одного из вариантов, меняя его атрибут Многовходовое поведение.

Контакты (предполагается, что компонент направлен на восток)

Западный край (входы, разрядность соответствует атрибуту Биты данных)

Входы компонента. Их будет столько, сколько указано в атрибуте Количество входов.

Заметьте, что если вы используете фигурные элементы, то западный край элементов Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ будет искривлён. Тем не менее, входные контакты расположены вряд. Logisim отрисовывает короткие отрезки чтобы показать это; если вы перекроете отрезок, программа будет без предупреждений предполагать, что вы не хотели перекрыть его. При использовании "Вида для печати", эти отрезки не будут отрисованы, если не подключены к проводам.

Восточный край (выход, разрядность соответствует атрибуту Биты данных)

Выход элемента, значение на котором вычисляется на основании текущих значений на входах, как описано выше.

Атрибуты

Когда компонент выбран, или уже добавлен, клавиши от 0 до 9 меняют его атрибут Количество входов, комбинации от Alt-0 до Alt-9 меняют его атрибут Биты данных, а клавиши со стрелками меняют его атрибут Направление.

Направление Направление компонента (его выхода относительно его входов). Биты данных Разрядность входов и выходов компонента. Размер элемента Определяет, следует отрисовывать широкую или узкую версию компонента. Это не влияет на количество входов, которое определяется атрибутом Количество входов; правда, если количество входов превышает 3 (для узкого компонента) или 5 (для широкого), то элемент будет отрисовываться с "крыльями", чтобы вместить запрошенное количество входов. Количество входов Определяет, сколько контактов на западном крае будет иметь компонент. Многовходовое поведение (только для Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ) Когда входов три или более, то значение на выходе элементов Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ будет основано или на том, что 1 строго на одном входе (по умолчанию), или на нечётном количестве входов.

Электрическая схема, предназначенная для выполнения какой-либо логической операции с входными данными, называется логическим элементом. Входные данные представляются здесь в виде напряжений различных уровней, и результат логической операции на выходе - также получается в виде напряжения определенного уровня.

Операнды в данном случае подаются - на вход логического элемента поступают сигналы в форме напряжения высокого или низкого уровня, которые и служат по сути входными данными. Так, напряжение высокого уровня - это логическая единица 1 - обозначает истинное значение операнда, а напряжение низкого уровня 0 - значение ложное. 1 - ИСТИНА, 0 - ЛОЖЬ.

Логический элемент - элемент, осуществляющий определенные логические зависимость между входными и выходными сигналами. Логические элементы обычно используются для построения логических схем вычислительных машин, дискретных схем автоматического контроля и управления. Для всех видов логических элементов, независимо от их физической природы, характерны дискретные значения входных и выходных сигналов.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один или два (обычно инверсных друг другу) выхода. Значения «нулей» и «единиц» выходных сигналов логических элементов определяются логической функцией, которую выполняет элемент, и значениями «нулей» и «единиц» входных сигналов, играющих роль независимых переменных. Существуют элементарные логические функции, из которых можно составить любую сложную логическую функцию.

В зависимости от устройства схемы элемента, от ее электрических параметров, логические уровни (высокие и низкие уровни напряжения) входа и выхода имеют одинаковые значения для высокого и низкого (истинного и ложного) состояний.

Традиционно логические элементы выпускаются в виде специальных радиодеталей - интегральных микросхем. Логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и сложение по модулю (И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ) - являются основными операциями, выполняемыми на логических элементах основных типов. Далее рассмотрим каждый из этих типов логических элементов более внимательно.

Логический элемент «И» - конъюнкция, логическое умножение, AND

«И» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию конъюнкции или логического умножения. Данный элемент может иметь от 2 до 8 (наиболее распространены в производстве элементы «И» с 2, 3, 4 и 8 входами) входов и один выход.

Условные обозначения логических элементов «И» с разным количеством входов приведены на рисунке. В тексте логический элемент «И» с тем или иным числом входов обозначается как «2И», «4И» и т. д. - элемент «И» с двумя входами, с четырьмя входами и т. д.

Таблица истинности для элемента 2И показывает, что на выходе элемента будет логическая единица лишь в том случае, если логические единицы будут одновременно на первом входе И на втором входе. В остальных трех возможных случаях на выходе будет ноль.

На западных схемах значок элемента «И» имеет прямую черту на входе и закругление на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «&».

Логический элемент «ИЛИ» - дизъюнкция, логическое сложение, OR

«ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию дизъюнкции или логического сложения. Он так же как и элемент «И» выпускается с двумя, тремя, четырьмя и т. д. входами и с одним выходом. Условные обозначения логических элементов «ИЛИ» с различным количеством входов показаны на рисунке. Обозначаются данные элементы так: 2ИЛИ, 3ИЛИ, 4ИЛИ и т. д.

Таблица истинности для элемента «2ИЛИ» показывает, что для появления на выходе логической единицы, достаточно чтобы логическая единица была на первом входе ИЛИ на втором входе. Если логические единицы будут сразу на двух входах, на выходе также будет единица.

На западных схемах значок элемента «ИЛИ» имеет закругление на входе и закругление с заострением на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1».

Логический элемент «НЕ» - отрицание, инвертор, NOT

«НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического отрицания. Данный элемент, имеющий один выход и только один вход, называют еще инвертором, поскольку он на самом деле инвертирует (обращает) входной сигнал. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «НЕ».

Таблица истинности для инвертора показывает, что высокий потенциал на входе даёт низкий потенциал на выходе и наоборот.

На западных схемах значок элемента «НЕ» имеет форму треугольника с кружочком на выходе. На отечественных схемах - прямоугольник с символом «1», с кружком на выходе.

Логический элемент «И-НЕ» - конъюнкция (логическое умножение) с отрицанием, NAND

«И-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Другими словами, это в принципе элемент «И», дополненный элементом «НЕ». На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2И-НЕ».

Таблица истинности для элемента «И-НЕ» противоположна таблице для элемента «И». Вместо трех нулей и единицы - три единицы и ноль. Элемент «И-НЕ» называют еще «элемент Шеффера» в честь математика Генри Мориса Шеффера, впервые отметившего значимость этой в 1913 году. Обозначается как «И», только с кружочком на выходе.

Логический элемент «ИЛИ-НЕ» - дизъюнкция (логическое сложение) с отрицанием, NOR

«ИЛИ-НЕ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Иначе говоря, это элемент «ИЛИ», дополненный элементом «НЕ» - инвертором. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2ИЛИ-НЕ».

Таблица истинности для элемента «ИЛИ-НЕ» противоположна таблице для элемента «ИЛИ». Высокий потенциал на выходе получается лишь в одном случае - на оба входа подаются одновременно низкие потенциалы. Обозначается как «ИЛИ», только с кружочком на выходе, обозначающим инверсию.

Логический элемент «исключающее ИЛИ» - сложение по модулю 2, XOR

«исключающее ИЛИ» - логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения по модулю 2, имеет два входа и один выход. Часто данные элементы применяют в схемах контроля. На рисунке приведено условное обозначение данного элемента.

Изображение в западных схемах - как у «ИЛИ» с дополнительной изогнутой полоской на стороне входа, в отечественной - как «ИЛИ», только вместо «1» будет написано «=1».

Этот логический элемент еще называют «неравнозначность». Высокий уровень напряжения будет на выходе лишь тогда, когда сигналы на входе не равны (на одном единица, на другом ноль или на одном ноль, а на другом единица) если даже на входе будут одновременно две единицы, на выходе будет ноль - в этом отличие от «ИЛИ». Данные элементы логики широко применяются в сумматорах.

Команда XOR в Ассемблере выполняет операцию исключающего ИЛИ между всеми битами двух операндов. Результат операции XOR записывается в первый операнд. Синтаксис:

XOR ПРИЁМНИК, ИСТОЧНИК

Инструкция XOR всегда сбрасывает CF и OF, а также (в зависимости от результата) изменяет флаги SF, ZF и PF. Значение флага AF может быть любым - оно не зависит от результата операции.

ПРИЁМНИК может быть одним из следующих:

Область памяти (MEM)

ИСТОЧНИК может быть одним из следующих:

Область памяти (MEM)
Регистр общего назначения (REG)
Непосредственное значение - константа (IMM)

С учётом ограничений, которые были описаны выше, комбинации ПРИЁМНИК-ИСТОЧНИК могут быть следующими:

REG, MEM MEM, REG REG, REG MEM, IMM REG, IMM

Операция исключающего ИЛИ

При выполнении операции исключающего ИЛИ значение результата будет равно 1, если сравниваемые биты отличаются (не равны). Если же сравниваемые биты имеют одинаковое значение, то результат будет равен 0.

Потому эта операция и называется исключающей. Она исключает из сравнения одинаковые биты, а с неодинаковыми выполняет операцию .

Но, так как любая пара неодинаковых битов это 0 и 1, то операция логического ИЛИ в результате даст 1.

Таблица истинности исключающего ИЛИ

Таблица истинности XOR приведена ниже:

0 XOR 0 = 0 0 XOR 1 = 1 1 XOR 0 = 1 1 XOR 1 = 0

Особенности операции XOR

Операция XOR обладает свойством реверсивности. Если её выполнить дважды с одним и тем же операндом, то значение результата инвертируется. То есть если два раза выполнить эту операцию между битами X и Y , то в конечном результате мы получим исходное значение бита Х .

0 XOR 0 = 0 XOR 0 = 0 0 XOR 1 = 1 XOR 1 = 0 1 XOR 0 = 1 XOR 0 = 1 1 XOR 1 = 0 XOR 1 = 1

Это свойство можно использовать, например, для простейшего шифрования данных (об этом как-нибудь в другой раз).

Проверка флага чётности после операции XOR

Команда XOR работает с 8-, 16- и 32-разрядными операциями.

Иногда есть необходимость после выполнения операции проверить флаг чётности PF, для того, чтобы узнать, какое количество единичных битов (чётное или нечётное) содержится в младшем байте результата (это бывает необходимо не только в случае выполнения операции XOR, но и при выполнении других арифметических и логических операций).

Если флаг чётности установлен, то в результате получилось чётное количество единичных битов. Иначе флаг будет сброшен.

Можно также просто проверить на чётность любое число, не меняя значения результата. Для этого надо выполнить команду XOR с нулевым значением. То есть в ПРИЁМНИКЕ должно быть проверяемое число, а в ИСТОЧНИКЕ должен быть ноль. А затем надо проверить флаг чётности. Пример:

AL, 10110101b ;Поместить в AL число с нечётным;количеством единичных битов (5) XOR AL, 0 ;При этом флаг чётности PF не;устанавливается (PO) MOV AL, 10110111b ;Поместить в AL число с чётным;количеством единичных битов (6) XOR AL, 0 ;При этом флаг чётности PF ;будет установлен (PE)

В отладчиках обычно для обозначения чётного количества единиц в полученном результате используется сокращение PE (Parity Even), а для нечётного - PO (Parity Odd).

Чётность в 16-разрядных словах

Как уже было сказано, флаг чётности устанавливается в зависимости от количества единиц, содержащихся в младшем байте результата. Чтобы проверить чётность 16-разрядного операнда, надо выполнить команду XOR между старшим и младшим байтом этого числа:

MOV AX, 64C1h ;0110 0100 1100 0001 - 6 единичных битов XOR AH, AL ;Флаг чётности будет установлен

Таким нехитрым способом 16-разрядный операнд разбивается на два байта (2 группы по 8 битов), и при выполнении команды XOR единичные биты, находящиеся в соответствующих разрядах двух 8-разрядных операндов, не будут учитываться. Потому что соответствующий бит результата равен нулю.

Команда XOR удаляет из результата любые пересекающиеся единичные биты двух 8-разрядных операндов и добавляет в результат непересекающиеся единичные биты. То есть чётность полученного нами 8-разрядного числа будет такой же, как и чётность исходного 16-разрядного числа.

0110 0100 1100 0001 - исходное 16-разрядное число 0 XOR 1 = 1 1 XOR 1 = 0 1 XOR 0 = 1 0 XOR 0 = 0 0 XOR 0 = 0 1 XOR 0 = 1 0 XOR 0 = 0 0 XOR 1 = 1

В результате 4 единицы, то есть флаг PF будет установлен

Чётность в 32-разрядных двойных словах

Ну а если надо определить чётность в 32-разрядном числе?

Тогда число разбивается на четыре байта, и поочерёдно с этими байтами выполняется операция исключающего ИЛИ.

Например, мы разбили 32-разрядное число B на четыре байта B0 , B1 , B2 , B3 , где В0 - это младший байт.

Тогда для определения чётности числа В нам надо будет использовать следующую формулу:

B0 XOR B1 XOR B2 XOR B3

Но в ассемблере такая запись недопустима. Поэтому придётся немного подумать.

Ну и напоследок о происхождении мнемоники XOR . В английском языке есть слово eX ception - исключение. Сокращением от этого слова является буква Х (так повелось). Вы наверняка встречали такое в рекламе или в названии продуктов, производители которых претендуют (ну или думают, что претендуют) на исключительность. Например, Лада XRAY, Sony XPeria и т.п. Так что XOR - это аббревиатура, собранная из двух слов - eX ception OR - исключающее ИЛИ.

C++. Логические операции. Поразрядные логические операции. Операции сдвига. Операция XOR

1. Для каких типов можно применять логические операции, поразрядные логические операции и операции сдвига?

Логические операции, поразрядные логические операции и операции сдвига можно использовать только для операндов целых типов.

2. Какие логические операции используются в C/C++?

В языке программирования C/C++ используются следующие логические операции:

&& – логическое «И»;
|| – логическое «ИЛИ»;
! – логическое «НЕТ».

Результатом логических операций есть значение false или true . В языке C++ принято, что значение false считается равным 0, а значение true считается равным 1.

Отсюда можно сделать вывод, что false < true . Например:

// логические операции bool res; res = false < true ; // res = true

3. Таблица истинности логических операций

Таблица истинности логических операций && (логическое «И»), || (логическое «ИЛИ»), ! (логическое «НЕТ») имеет следующий вид:

В языке C/C++ принимается, что значение false равно 0, а значение true не равно 0 (любое ненулевое целочисленное значение).

4. Примеры использования логических операций в C++

Пример 1. Логическая операция в сочетании с логическим выражением

// логические операции bool res; int a, b; // операция && (AND) a = 8; b = 5; res = a && b; // res = True a = 0; res = a && b; // res = False // операция || (OR) a = 0; b = 0; res = a || b; // res = False b = 7; res = a || b; // res = True // операция! (логическое "НЕТ") a = 0; res = !a; // res = True a = 15; res = !a; // res = False

Пример 2. Логическая операция в условных выражениях. Приведен фрагмент кода, в котором логическая операция используется в операторе условного перехода if .

// логические операции в условных выражениях int a, b; bool res; a = 0; b = 3; res = false ; if (a && b) res = true ; // res = false a = 0; b = 7; if (a || b) res = true ; // res = true

5. Какие поразрядные логические операции используются в C/C++?

Язык С/С++ поддерживает следующие поразрядные логические операции :

& – поразрядное логическое И (AND );
^ – поразрядное сложение по модулю 2 (XOR — исключающее ИЛИ);
| – поразрядное логическое ИЛИ (OR );
~ – поразрядная инверсия (NOT ).

Операции & , ^ , | есть бинарными. Это означает, что они требуют двух операндов. Биты любого операнда сравниваются между собой по следующему правилу : бит в позиции 0 первого операнда сравнивается с битом в позиции 0 второго операнда. Затем бит в позиции 1 первого операнда сравнивается с битом в позиции 1 второго операнда. Так сравниваются все биты целочисленных операндов.

6. Таблица истинности поразрядных логических операций

Каждый бит результата определяется на основе двух операндов, которые являются битами, так как показано в таблице.

Инверсия требует единого операнда справа от знака ~ . Результат получается поразрядной инверсией всех битов операнда.

7. Пример работы с логическими побитовыми операциями

Пусть даны два числа 17 и 45 типа unsigned short int . Каждое из чисел занимает в памяти 1 байт или 8 бит. Ниже приведен пример того, как происходит вычисление для каждой побитовой операции

Как видно из примера, происходит выполнение заданной операции над каждым битом.

8. Какие операции сдвига используются в C/C++?

Язык С/С++ включают две операции поразрядного сдвига :

<< – сдвиг влево значения операнда на заданное количество бит. Операнд размещается слева от знака операции. Число сдвигаемых бит указывается справа от знака операции;
>> – сдвиг вправо значения операнда на заданное количество бит. Операнд размещается слева от знака операции (<<). Количество сдвигаемых бит размещается справа от знака операции.

Выдвижные биты теряются, а «входят» нулевые биты. Сдвиг операндов влево на 1, 2, 3 и более разрядов – наиболее быстрый способ умножения на 2, 4, 8, … Сдвиг операндов вправо на 1, 2, 3 и более разрядов – наиболее быстрый способ деления на 2, 4, 8, …

Если в программе нужно, чтобы операция умножения целочисленных операндов на 2, 4, 8 и т.д. происходила максимально быстро, то целесообразно использовать операцию сдвига влево.

Это касается и случаев, когда нужно максимально быстро поделить целочисленный операнд на 2, 4, 8 и т.д. В этих случаях рекомендуется использовать сдвиг вправо.

9. Примеры использования операций сдвига в программе

// Операции сдвига int a; int b; int c; a = 15; b = -5; // сдвиг влево - умножение c = a << 1; // c = a * 2^1 = 30 c = b << 2; // c = b * 2^2 = -20 // сдвиг вправо - деление c = a >> 3; // c = a / 2^3 = 1 c = b >> 1; // c = b / 2^1 = -3

10. Какое отличие между логическими операциями и поразрядными логическими операциями?

В логических операциях сравнивается значение двух операндов целиком. Каждый из операндов может иметь значение true или false . Язык C/C++ допускает сравнение операндов, которые являются целыми числами. В этом случае целочисленное значение 0 соответствует значению false , а ненулевое (любое другое) значение соответствует значению true .

Операция исключающее ИЛИ (неравнозначность, сложение по модулю два) обозначается символом и отличается от логического ИЛИ только приA=1 и B=1.

Таким образом, неравнозначность двух высказываний Х1 и Х2 называют такое высказывание Y, которое истинно тогда и только тогда, когда одно из этих высказываний истинно, а другое ложно.

Определение данной операции может быть записано в виде таблицы истинности (таблица 6):

Таблица 6 – Таблица истинности операции «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»

Как видно из таблицы 6, логика работы элемента соответствует его названию.

Это тот же элемент «ИЛИ» с одним небольшим отличием. Если значение на обоих входах равно логической единице, то на выходе элемента «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ», в отличие от элемента «ИЛИ», не единица, а ноль.

Операция «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» фактически сравнивает на совпадение два двоичных разряда.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет своё название и обозначение (таблица 7).

Таблица 7 – Основные логические операции

Обозначение операции	Читается	Название операции	Альтернативные обозначения
		Отрицание (инверсия)	Черта сверху
		Конъюнкция (логическое умножение)
		Дизъюнкция (логическое сложение)
	Если … то	Импликация
	Тогда и только тогда	Эквиваленция
	Либо … либо	ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (сложение по модулю 2)

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

Система логических операций инверсии, конъюнкции, дизъюнкции позволяет построить сколь угодно сложное логическое выражение.

При вычислении значения логического выражения принят определённый порядок выполнения логических операций.

1. Инверсия.

2. Конъюнкция.

3. Дизъюнкция.

4. Импликация.

5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

Логические выражения и таблицы истинности
1. Логические выражения

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

Запишем в форме логического выражения составное высказывание «(2·2=5 или 2∙2=4) и (2∙2≠5 или 2∙2 ≠4)».

Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:

А = «2 2=5»-ложно (0),

В = «2 2=4»-истинно (1).

Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме:

«(А или В ) и (Ā или В )».

Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учётом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определён следующий порядок их выполнения:

инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:

F = (A v В ) & (Ā v В ).

Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:

F = (A v В) & (Ā v В) = (0 v 1) & (1 v 0) = 1 & 1 = 1.

Таблицы истинности

Таблицы, в которых логические операции отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний, называются таблицами истинности.

Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определённой последовательностью действий:

необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно п, то:

количество строк = 2 n .

В нашем случае логическая функция

имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4;

необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

В нашем случае количество переменных равно двум: А и В, а количество логических операций - пяти (таблица 8), то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи;

необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных;

необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

Таблица 8 – Таблица истинности логической функции